“设前m2个正整数中,总共有n个素数,记为:p1=2,p2=3,p3=5,……,pn≤m2.
“根据我们的假设,从p1到p(n-1),每个素数到下一个素数的间隔都小於m……”
写完了这些过程,徐瑞短暂的思考了几分钟,隨即便想到了接下来的处理方式。
“我们可以把pn看作是从p1开始,经过n-1次跳跃得到的。每次跳跃间隔都小於m。因此:
“pn=p1+(p2-p1)+(p3-p2)+……+(pn-pn-1)<p1+(n-1).m
“即:pn<2+(n-1)m1”
证明过程写到了这一步,徐瑞感觉自己已经看到了成功解决这个问题的希望。
不过想要继续往下推进的话,似乎还需要再引入一个新的不等式才可以。
联想自己刚刚找到的那些灵感,徐瑞突然有一种大脑闪过一道光的感觉。
“有了……切比雪夫定理!根据它就可以推导出来了!”
这是数论中的一个比较初等但要非常重要的结论,正好在最近的学习之中,徐瑞学习过这个知识。
经过一番並不算复杂的推导,徐瑞成功证明出了一个新的不等式。
“对於足够大的x,素数计数函数π(x)(即不超过x的素数个数)满足:
“π(x)>x/logx(易证).
“更精確的,我们可以用一个更初等的不等式:当x≥17时,π(x)>x/logx.
“现在,令x=m2。那么前m2个正整数中,素数的个数n=π(m2)。对於足够大的m,我们有:
“n=π(m2)>m2/ln(m2)=m2/2lnm2”
当证明过程进行到这里,徐瑞脸上的表情已经完全舒展了开来。
因为只要將2式代入1之中,便可以推出原假设的矛盾之处。
按照反证法的原理,只要原假设被推出矛盾之处,便可以严谨的证明出论证的问题是成立的。
终於將这个不等式证明了出来,徐瑞只感觉心里满满的都是成就感。
“如果这真的是什么毕业设计的课题,那岂不是说明,现在的我已经具有大四数学专业学生的水平了?”
不过徐瑞还是很快冷静了下来,毕竟这件事情还没有定论,万一这只是一道普通的大学数学练习题目,那可就尷尬了。
现在徐瑞也只是刚学了大学数学不到一个月的时间,还是需要放低姿態,继续虚心的学习才行。
看了一眼时间,徐瑞有些惊讶的发现,竟然已经到了下午5点多了。
“解决这个问题居然花了我五个小时的时间……如果是数学专业的学生,应该不至於这么费力吧?”
想到自己的证明方法或许並不算多么的高明,徐瑞觉得说不定还会有其他更加高级而又简洁的证明方法。